On considère une suite \((X_n)_n\) de v.a. Suivant la loi \(\mathcal{Pois}(\theta)\), dont on veut calculer le paramètre \(\theta\). Calculer \({\Bbb P}_\theta(X_1=x\mid S_n=s)\), avec \(S_n=\sum^{n}_{i=1}X_i\), afin de déterminer la loi de \({\Bbb E}_\theta[X_1|S_n]\).
Développer la formule de probabilité conditionnelle.
$${\Bbb P}_\theta(X_1=x\mid S_n=s)=\frac{{\Bbb P}_\theta(X_1=x,S_n=s)}{{\Bbb P}_\theta(S_n=s)}$$
Isoler \(X_1\) du reste de la somme, et séparer par indépendance.
$$=\frac{{\Bbb P}_\theta(X_1=x){\Bbb P}_\theta(X_2+\dots+X_n=s-x)}{{\Bbb P}_\theta(S_n=s)}$$
Développer les probabilités, en sachant qu'une somme de \(n\) v.a.i.i.d de lois \(\mathcal{Pois}(\theta)\) est de loi \(\mathcal{Pois}(\lambda n)\).
$$=\binom xs\frac{(n-1)^{s-x} }{n^s}$$
Reconnaître la loi.
$$=\binom xs\frac1{n^x}\left(1-\frac1n\right)^{s-x}\implies{\Bbb E}_\theta[X_1|S_n]\sim\mathcal{Bin}\left( S_n,\frac1n\right)$$
